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武汉市2015-2016学年八年级上月考数学试卷(12月)含答案解析
湖北省武汉市2015-2016学年八年级上月考数学试卷(12月)含答案解析
10.如图,将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置,使B点的对应点D落在BC边上,连接EB、EC,则下列结论:①∠DAC=∠DCA;②ED为AC的垂直平分线;③∠BED=30°;④ED=2AB.其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【考点】旋转的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】先利用旋转的性质得到AB=AC,AC=AE,∠BAC=∠EAC,则可判断△ABD为等边三角形,所以∠BAD=∠ADB=60°,则∠EAC=∠BAD=60°,再计算出∠DAC=30°,于是可对①进行判断;接着证明△AEC为等边三角形得到EA=EC,加上DA=DC,则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断;然后根据等边三角形的性质得DE平分∠AEC,则∠AED=30°,则可对③进行判断;接下来证明∠EAD=90°,则利用含30度的直角三角形三边的关系得到ED=2AD,所以ED=2AB,则可对④进行判断.
【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠ACB=30°,
∴∠ABC=60°,
∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置,
∴AB=AC,AC=AE,∠BAC=∠EAC,
∴△ABD为等边三角形,
∴∠BAD=∠ADB=60°,
∴∠EAC=∠BAD=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAC=30°=∠ACB,
∴∠DAC=∠DCA,所以①正确;
∵AC=AE,∠EAC=60°,
∴△AEC为等边三角形,
∴EA=EC,
而DA=DC,
∴ED为AC的垂直平分线,所以②正确;
∴DE平分∠AEC,
∴∠AED=30°,
∴∠BED<30°,所以③错误;
∵∠EAD=∠EAC+∠CAD=60°+30°=90°,
在Rt△AED中,∵∠AED=30°,
∴ED=2AD,
∴ED=2AB,所以④正确.
故选B.
【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定.
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