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2016秋人教版八年级数学上13.4课题学习最短路径问题教案
2016秋人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题教案
一、创设情景,明确目标
如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,走哪条路最近?你的理由是什么?
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
二、自主学习,指向目标
自学教材第85 页至87 页,思考下列问题:
1.求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求,其依据是两点的所有连线中,线段最短.
2.求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.
3.在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.
三、合作探究,达成目标
探索最短路径问题
活动一:相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:
从图中的A地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?
追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?答:将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?
答:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).问题2:如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC与CB的和最小?
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