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2016年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)含答案解析
2016年广西桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)含答案解析
[选修4-5:不等式]
24.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x2|的最小值为m.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c是正实数,且满足a+b+c=m,求证:
a
2
+b
2
+c
2
≥3
.
【考点】不等式的证明;绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)|x+1|+|x2|≥(x+1)(x2)=3,即可求m的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a+b+c=3,再由三元柯西不等式即可得证.
【解答】(Ⅰ)解:因为|x+1|+|x2|≥(x+1)(x2)=3
当且仅当1≤x≤2时,等号成立,
所以f(x)的最小值等于3,即m=3
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知a+b+c=3,又a,b,c是正实数,
所以
(
a
2
+b
2
+c
2
)(
1
2
+1
2
+1
2
)
≥
(
a+b+c
)
2
=9
,
所以
a
2
+b
2
+c
2
≥3
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