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山西省运城市2015-2016年高二上期末数学试卷(文)含答案解析
山西省运城市2015-2016年高二上期末数学试卷(文)含答案解析
19.已知圆P与直线x=1相切,且经过(1,0),设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)点A的坐标为(2,1),点B在曲线C上运动,求线段AB中点的轨迹方程.
【分析】(1)由题意圆心P的轨迹是以(1,0)为焦点、开口向右的抛物线,可得圆心M的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线;
(2)设线段AB中点M(x,y),B(x1,y1),由题意知:x1=2x2,y1=2y2,由点B在曲线C上运动,能求出点M的轨迹方程.
【解答】解:(1)由题意圆心为P到点(1,0)的距离等于P直线x=1相切,
所以圆心P的轨迹是以(1,0)为焦点、开口向右的抛物线.
所以曲线C的方程y
2
=4x;
(2)设线段AB中点M(x,y),B(x1,y1),
由题意知:
x
1
=2x
2
,
y
1
=2y
2
,
∵点B在曲线C上运动,
∴(2y2)
2
=4(2x2),
整理,得(y1)
2
=2x2.
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法,考查计算能力,考查代入法的运用,正确运用抛物线的定义是关键.
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