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中考数学复习
【2016挑战中考数学压轴】第2部分函数图象中点的存在性问题
【挑战中考数学压轴】(精选)(2016版):第二部分 函数图象中点的存在性问题
例1 2015年呼和浩特市中考第25题
已知抛物线
y
=
x
2
+(2
m
-1)
x
+
m
2
-1经过坐标原点,且当<0时,
y
随
x
的增大而减小。
(1)求抛物线的解析式,并写出
y
< 0时,对应
x
的取值范围;
(2)设点
A
是该抛物线上位于
x
轴下方的一个动点,过点
A
作
x
轴的平行线交抛物线于另一点
D
,再作
AB
⊥
x
轴于点
B
,
DC
⊥
x
轴于点
C.
①当
BC
=1时,直接写出矩形
ABCD
的周长;
②设动点
A
的坐标为(
a
,
b
),将矩形
ABCD
的周长
L
表示为
a
的函数并写出自变量的取值范围,判断周长是否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点
A
的坐标;如果不存在,请说明理由.
动感体验
请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”,拖动点
A
在
x
轴下方的抛物线上运动,观察
L
随
a
变化的图像,可以体验到,有两个时刻,
L
取得最大值,这两个时刻的点
A
关于抛物线的对称轴对称.
思路点拨
1.先用含
a
的式子表示线段
AB
、
AD
的长,再把
L
表示为
a
的函数关系式.
2.点
A
与点
D
关于抛物线的对称轴对称,根据对称性,点
A
的位置存在两个情况.
满分解答
(1)因为抛物线
y
=
x
2
+(2
m
-1)
x
+
m
2
-1经过原点,所以
m
2
-1=0.解得
m
=±1。
如图1,当
m
=1时,抛物线
y
=
x
2
+
x
的对称轴在
y
轴左侧,不符合当
x
<0时,
y
随
x
的增大而减小。
当
m
=-1时,抛物线
y
=
x
2
-3
x
符合条件。
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