2015年新人教版九年级上第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系学案
出示目标
  1.理解二次函 数与一元二次方程的关系.
  2.会判断抛物线与x轴的交点个数.
  3.掌握方程与函数间的转化.
  4.会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解.
预习导学
  阅读教材第43至46页，自学“问题”、“思 考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解.
  自学反馈 学生独立完成后集体订正
  ①抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x=x₀时，函数的值是0，因此x=x₀就是方程ax²+bx+c=0的一个根.
  ②二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:当b²-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点.
  ③观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
  方程x²+x-2=0的根是x₁=-2,x₂=1；       
  方程x²-6x+9=0的根是x₁=x₂=3；
  方程x²-x+1=0的根是无实数根.
  ④如 图所示，你 能直观看出哪些方程的根？       
   解:-x²+2x+3=0的根为x₁=-1,x₂=3；-x²+2x+3=4的根为x₁=x₂=1；-x²+2x+3=3的根为x₁=0,x₂=2
   此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的 关系，即函数y=-x²+2x+3中，y为某一确定值m(如4、3、0)时，相应x值是方程-x²+2x+3=m(m=4、3、0)的根.
  ⑤已知抛物线y=ax²+bx+c如图所示，则关于x的方程ax²+bx+c-3=0的根是x₁=x₂=1.  
   此题解法较多，但是根据图象来解是最简单的方法.
合作探究
活动1 小组讨论
  例1 已知二次函数y=2x²-(4k+1)x+2k²-1的图 象与x轴交于两点.求k的取值范围.
   解:根据题意知 b²-4ac>0 ，即(4k+1)²-4×2×(2k²-1)>0, 解得k>- .
   根据交点的个数来确定b²-4ac的正、负是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
  1.抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点是(-1，0)、(3，0)，求抛物线的对称轴.
   解：直线x=1
   可根据二次函数的对称性来求.
  2.画出函数y=x²-2x-3的图象，根据图象回答:
   ①方程x²-2x-3=0的解是什么？
   ②x取什么值时，函数值大于0;x取什么值时，函数值小于0？
   解：①x₁=-1,x₂=3；②当x<- 1或x>3时，函数值大于0；当-1<x<3时，函数值小于0.
   x²-2x-3=0的解，即求二次函数y=x²-2x-3中函数值y=0时自变量x的值.
  3.已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x₁，0)、B(x₂,0)(x₁<x₂),顶点M的纵坐标为-4，若x₁、x₂是方程x²-2 (m-1)x+m2-7=0的两个根，且x₁²+x₂² =10.
  ①求A、B两点的坐标；
  ②求抛物线的关系式及点C的坐标；
  ③在抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积等于四边形ACMB面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
   解：① A(-1，0)、B(3,0)；②y=x²-2x-3,C(0，-3)；③存在，P₁(1+ ,9),P₂(1- ,9).
   此题的切入点为根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，求出A、B的坐标后代入二次函数的解析式，再根据顶点坐标公式得到关于a、b、c的关系式，即得到一个三元方程组，解之即可求出待定系数.第③题可设出点P的坐标，从而得到△ABP面积的代数式，然后建立方程模型.

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