【2012修订】人教版七年级下第九章“不等式与不等式组”简介
课程教材研究所　王　嵘
数量之间除了有相等关系外，还有大小不等的关系．正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有利数学工具．一元一次不等式（组）中，只含有一个未知数并且未知数的次数为1，因而是最简单的含未知数的不等式（组），也是进一步学习更复杂的不等式（组）的基础．本章主要研究一元一次不等式（组）及其应用。全章共安排三个小节和一个选学内容，教学时间大约需要11课时，具体安排如下（仅供参考）：
9.1 不等式                                                    3课时
9.2 一元一次不等式                                            4课时
9.3 一元一次不等式组                                          2课时
数学活动
小结                                                          2课时
一、教科书内容和本章学习目标
（一）本章知识结构框图
1．利用不等式（组）解决实际问题的基本过程
2．本章知识安排的前后顺序
（二）教科书内容
本章的主要内容包括：一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式分析与解决实际问题．其中，以不等式为工具分析问题、解决问题是重点，也是教学中的主要难点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；掌握一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能和能力．本章重视数学与实际的关系，注意体现列不等式中蕴涵的建模思想和解不等式（组）中蕴涵的化归思想．
使学生经历建立一元一次不等式这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，是本章的中心任务. 由于不等式所解决的是含有不等关系的问题，这与以前较多讨论的等量关系既有联系又有区别，所以学习本章时会遇到如何通过比较新旧知识取得新进展的问题.
第9.1节“不等式”首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念；然后为进一步讨论不等式的解法，教科书对不等式的性质进行了讨论，得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式．不等式的性质是解不等式的重要依据，教科书正是从讨论解不等式的需要出发引导学生认识它们的．解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对于不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然地产生．这一节的框架结构与一元一次方程的相应部分类似，教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等．
第9.2节“一元一次不等式”主要探讨了以下几个问题：什么是一元一次不等式，如何解一元一次不等式，一元一次不等式有什么用。首先，借助上节曾出现的四个不等式，通过观察归纳它们的共同特征，教科书介绍了一元一次不等式的概念；然后类比一元一次方程，通过例题阐明了一元一次不等式的解法；最后，通过两个实际问题，教科书着重讨论了不等式模型的建立，以培养学生建立不等式模型解决问题的能力。
第9.3节“一元一次不等式组”结合污水抽取时间的问题，引进了一元一次不等式组及其解集的概念．在第8章刚学习了二元一次方程组的基础上，讨论不等式组是比较自然的安排．这里公共解集中的“公共”，是指各不等式解集的公共部分（交集）．二元一次方程组的解?以通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴（或在头脑中想象数轴）才能得出．在这个问题上借助直观利用数形结合具有重要作用． 
 
（三）本章学习目标
1．了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式表示问题中的不等关系”，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．
2．通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法． 
3．了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为 或 的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵的化归思想．
4．了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．
 
二、编写时考虑的几个问题
本章的编写在指导思想和内容安排方面具有以下主要特点.
（一）突出建摸思想，实际问题作为大背景贯穿全章 
同前面的第三章“一元一次方程”、第八章“二元一次方程组”一样，在本章中，安排了一些有代表性的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料，实际问题贯穿于全章，对不等式等概念及其应用的讨论，都是在建立和运用不等式这种数学模型的过程之中进行的. 
 
引入不等式及不等式的解时，教科书选用了一个具体行程的问题，引导学生从时间和路程两个不同角度考虑这个问题，然后再一步步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据不等关系列出含未知数的不等式．在这个问题中，按照题意，汽车到达A地的行驶时间要小于 小时；或者说，汽车行驶 小时所走路程要大于50千米．这两个不等关系实际上是一致的，是从两个不同角度看同一个问题，选取其中任何一个不等关系都可以列不等式解决本题．这里多举一个不等式的例子可以体现解决问题的方法有多种，不等式的形式也有多种，而我们现在要重点讨论其中的一元一次不等式．
 
讨论一元一次不等式时，“如何根据实际问题列不等式”是重点讨论的问题。教科书选用了生活中常见的有关空气质量和购物花费这两个问题，让学生进一步学习如何利用不等式将实际问题转化为数学问题。例如解决空气质量良好天数这个问题时，就需要将实际问题情境中的“明年这样的比值要超过70%”，转化为不等式“ ”，采用符号后，进一步转化为 。可以看到，这种“转化”就是一个数学抽象的过程，其中蕴涵了符号化、模型化的思想。 
 
此外，在练习和习题中教科书也选配了不同角度的实际问题。总之，实际问题在本章教材中既是线索、素材，又是检验教学效果的尺度．
 
（二）注重知识的前后联系，强调通过比较来认识新事物
本章在全套教科书中，位居一次方程（组）之后．方程（组）是讨论等量关系的数学工具，不等式（组）是讨论不等关系的数学工具．两者既有联系又有差异．在认识一次方程（组）的基础上，通过比较的方式接受新知识一元一次不等式（组），充分发挥心理学所说的正向迁移的作用，可以起到很好的温故而知新的效果．
 
本章9.1节的结构与一元一次方程的相应部分类似，教科书在各概念的引入、展开时注意了类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等，反映了知识间的横向联系，突出了不等式的特点．
 
解方程与解不等式都是通过适当的式子变形，使未知数转化为已知，但两者的目标有所不同，前者要转化为 的形式，后者则要转化为 的形式．为实现这样的目标，都需要运用化归思想，根据等式或不等式的性质，对方程或不等式进行由繁至简的变形．在9.2节探讨一元一次不等式解法时，教科书注意了这样的联系，类比解方程的步骤介绍了解不等式的步骤；同时又强调了解不等式与解方程的不同之处，突出了应注意的问题，例如解不等式中要将未知数的系数化为1时，应根据原来系数的正负确定不等号的选择．
 
方程组与不等式组在形式上类似，而且它们的解（集）都是指组成方程组或不等式组的各方程或不等式的公共解（集），教科书在9.3节引入不等式组及其解集时注意了渗透这种联系．
 
三、对教学的几个建议
前面已介绍了本章的主要内容、教学目标、编写特点等，使用本章教材进行教学时，应关注下面的问题．
（一）注重类比，做好从方程到不等式的迁移
从课程标准看，方程与不等式是同属“数与代数”领域内同一标题下的两部分内容，它们之间有密切的联系，存在许多可以进行类比的内容．在前面已经学习过有关方程（组）内容的基础上，学生已经对方程有一定的认识，会用方程表示问题情境中的等量关系，会解一元一次方程和二元一次方程组，即对于方程的认识已经具备一定的积累．充分发挥学习心理学中正向迁移的积极作用，借助已有的对方程的认识，可以为进一步学习不等式（组）提供一条合理的学习之路．
 
本章的主要内容有不等式的性质、一元一次不等式（组）、一元一次不等式（组）的解法、利用不等式分析解决实际问题等，它们与等式的性质、一元一次方程、一元一次方程的解法、方程组、利用方程分析解决实际问题等有明显的对应关系，其中有许多共同点，不同之处在于方程是表达相等关系的数学模型，不等式是表达不等关系的数学模型．了解它们的联系与区别（例如通过类比等式性质学习不等式性质），有助于使学生在已有基础上以效率较高的方式得到新的提高．
 
（三）重视数学思想，由思想到方法、步骤
本章所涉及的数学思想主要包括两个：一个是由实际问题抽象为不等式这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解不等式（组）的过程中蕴涵的化归思想．
 
数学建模的思想在前面章节（如方程）已有渗透，只不过本章的学习对象是不等式。因此，本章教学时，需要以不等式的知识为载体，将符号化、模型化的思想进一步发展和加强。在这个思想指导下，需要教师引导学生完成用数学模型表示和解决实际问题的步骤：正确地理解问题情境，分析其中的不等关系，设未知数，列不等式等。
 
解不等式（组），最终要使不等式（组）变形为x>a或x  
总之，数学思想是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识不是一次完成的，而需要一个逐步认识的过程，既需要教材的不断渗透，也需要教师的经常点拨，这样有利于学生感受和理解它们．数学思想对一个人的影响往往要大于具体的数学知识，因此，教学中应在如何深入浅出地进行数学思想的渗透传播方面不断探索．
 
（三）关注基础知识和基本技能
虽然以不等式为工具分析问题、解决问题是本章的重难点，但是教科书编写时，对于基本知识和基本技能给予了充分的关注。例如安排一元一次不等式内容时，采用了“概念―解法―应用”的结构，即先利用简单的一元一次不等式完成一元一次不等式概念和解法这些基本知识和基本技能的学习，然后再利用实际问题学习一元一次不等式的应用。因此，在本章教学时，应应注意打好基础，对基础知识和基本技能、能力等进行及时的归纳整理，安排必要的、适量的练习，使得学生对基础知识留下较深刻的印象，对基本技能达到一定的掌握程度，发展基本能力．如此一来，不仅有利于突破本章的教学重难点，而且对于理解和掌握后续知识（其他的不等式以及函数等）的学习具有很大的帮助．

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